A*, consistencia y admisibilidad

curso-search/Astar.aux

+\relax 
+\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax 
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{}
+\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{}
+\catcode `"\active 
+\catcode `<\active 
+\catcode `>\active 
+\@nameuse{es@quoting}
+\@writefile{toc}{\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}}
+\@writefile{nav}{\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}}
+\select@language{spanish}
+\@writefile{toc}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{lof}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{lot}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{2}{2/2}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {2}{2}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{3}{3/13}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {3}{13}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{4}{14/15}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {14}{15}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{5}{16/17}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {16}{17}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{6}{18/18}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {18}{18}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {19}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\def \inserttotalframenumber {7}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{7}{19/19}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {19}{19}}}

curso-search/Astar.nav

+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{2}{2/2}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {2}{2}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{3}{3/13}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {3}{13}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{4}{14/15}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {14}{15}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{5}{16/17}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {16}{17}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{6}{18/18}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {18}{18}}
+\headcommand {\beamer@partpages {1}{19}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{19}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{19}}
+\headcommand {\beamer@documentpages {19}}
+\headcommand {\def \inserttotalframenumber {7}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{7}{19/19}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {19}{19}}

curso-search/Astar.tex

+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[spanish]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage[makeroom]{cancel}
+
+% descomentar para generar handouts con notas
+\setbeameroption{show notes on second screen=right}
+\usepackage{tikz}
+\tikzstyle{every picture}+=[remember picture]
+
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{pifont}
+\usetheme{Antibes} 
+\usecolortheme{lily} 
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{hyperref}
+\newcommand{\I}[1]{\mathit{#1}}
+\newcommand{\cierto}{\I{cierto}}
+\newcommand{\falso}{\I{falso}}
+
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
+\spanishdecimal{.}
+
+\title{Algoritmo de búsqueda $A^*$}
+\author{Stalin Muñoz Gutiérrez}
+\institute{
+Centro de Ciencias de la Complejidad\\
+  Universidad Nacional Aut\'onoma de Mexico (UNAM)}
+\date{}
+
+
+\begin{document}
+\parindent 2em
+
+\frame
+{
+\titlepage
+\note<1>{
+Vamos ahora a ver el algoritmo denominado A*.
+
+El algoritmo $A^*$ fue propuesto por Peter Hart, Nils Nilsson y Bertram Raphael en los años 60's.
+
+Aún sigue siendo uno de los algoritmos más utilizados para encontrar rutas en grafos pesados.
+}
+}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+
+\begin{block}{Basado en UCS}
+El algoritmo {\color{blue}$A^*$} es como un algoritmo UCS, con dos cambios:
+\begin{enumerate}
+\item un parametro adicional que es la función heurística, $h:S \to \mathbb{R}$.
+\item la cola de prioridad utiliza como criterio de ordenamiento la función $f:S \to \mathbb{R}$ definida como sigue:{\color{blue}
+\begin{equation}
+f(n) = g(n) + h(n)
+\end{equation} }
+$g(n)$ es el costo acumulado del estado inicial al estado $n$.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\note{
+
+$A^*$ es una modificación del algoritmo UCS.
+
+Tiene dos cambios importantes.
+
+Primero, recibe una función heurística $h$, que estima el costo de un estado al estado meta.
+
+Segundo, el criterio de ordenamiento para la agenda, ahora es la suma del costo acumulado desde el estado inicial, calculado con la función $g(n)$ y la estimación del costo al estado meta, obtenida con la heuristica $h$.
+
+Si $h(n)$ es igual a zero para todo estado $n$,
+recuperamos el algoritmo UCS.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: juego del 15}
+\only<1>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-01.pdf}
+}
+\note<1>{
+Vamos a ilustrar el funcionamiento del algoritmo
+con el juego del 15.
+
+Como función heurística usaremos el número 
+de fichas fuera de lugar.
+
+La meta es el arreglo ordenado de los números de
+menor a mayor.
+
+}
+\only<2>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-02.pdf}
+}
+\note<2>{
+$A^*$ esta basado en UCS, usaremos una cola de 
+prioridad como agenda.
+
+Metemos el estado inicial a la agenda.
+}
+\only<3>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-03.pdf}
+}
+\note<3>{
+Lo sacamos de la agenda.
+
+Agregamos a la lista de expandidos.
+
+También es posible que eliminemos el conjunto de expandidos. En ese caso el algoritmo trabajará más
+pero usará menos memoria.
+}
+\only<4>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-04.pdf}
+}
+\note<4>{
+Al expandir al estado $A$, Obtenemos 3 configuraciones $B$, $C$ y $D$.
+
+Aquí en amarillo mostramos las fichas fuera de lugar.
+
+Como superíndice indicamos la función $f$ para
+cada estado.
+
+En el caso de $B$ tenemos una $h(B) = 4$.
+
+En todos los estados el costo acumulado es 1.
+}
+\only<5>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-05.pdf}
+}
+\note<5>{
+Al frente de la cola de prioridad queda $B$ con un
+costo total de 5, los otros estados tienen costos mayores.
+
+Expandimos a $B$, obteniendo el estado $E$.
+}
+\only<6>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-06.pdf}
+}
+\note<6>{
+$E$ resulta ser el de menor costo.
+
+Lo expandimos generando dos sucesores: $F$ y $G$.
+}
+\only<7>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-07.pdf}
+}
+\note<7>{
+El siguiente estado en salir es $F$ con un costo acumulado de 3 y un costo estimado a la meta de 2.
+
+$F$ generará 3 sucesores. El costo acumulado en todos ellos es de 4.
+
+Hasta el momento el algoritmo no ha retrocedido.
+
+Sigue avanzando en dirección a la meta.
+}
+\only<8>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-08.pdf}
+}
+\note<8>{
+Ahora al frente se encuentra el estado $I$.
+
+Al expandirlo genera los estados $K$ y $L$.
+
+$K$ es la meta.
+
+Como en UCS, no hemos terminado, se agrega a la agenda.
+
+Terminaremos cuando se encuentre al frente de la cola de prioridad.
+
+Nos daremos cuenta al sacarlo.
+}
+\only<9>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-09.pdf}
+}
+\note<9>{
+Sacamos el estado de menor costo $f$.
+
+Ahora si, dado que la meta es el estado de menor costo, estamos listos para recuperar la ruta y finalizar la ejecución del algoritmo.
+}
+\only<10>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-10.pdf}
+}
+\note<10>{
+Regresamos con los apuntadores a los estados predecesores.
+
+La ruta esta dada por la secuencia A,B,E,F,I,K, para simplificar hemos omitido la anotar la acción necesaria para lograr cada estado.
+}
+\only<11>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-11.pdf}
+}
+\note<11>{
+Aquí la secuencia de movimientos que nos llevan a la meta.
+
+La heurística guió al algoritmo en dirección a la meta. Llegamos muy rápido a la solución.
+
+El éxito de la aplicación de $A^*$ depende mucho de la función heurística seleccionada.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Admisibilidad en $A^*$}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{admisible-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+La admisibilidad de una heurística consiste en que el valor de la función heurística para todo nodo de la red debe ser inferior o igual al valor mínimo de costo al obejtivo.
+
+En este ejemplo vemos como la función heurística  tanto de $C$ como de $D$ se mantinene cerca, pero no superan el costo real a la meta. La meta en el ejemplo es $B$.
+
+Si calculamos el valor de $f$ para $C$ y $D$ observamos que es de 4 y 3 respectivamente. 
+Por lo tanto el agente prefiere tomar la ruta por $D$.
+}
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{admisible-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+En este ejemplo tenemos una heurística no admisible.
+
+Pues está sobreestimando el costo para el nodo $D$, con ello conduciendo al agente por un camino más largo.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Consistencia en $A^*$}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{consistencia.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Una heurística es consistente o monotónica si para cada sucesor de todo vertice del grafo de estados acciones, la heurística del vértice es menor o igual que la heurística de la suma del costo de la transición del vertice al sucesor con la heurística del sucesor.
+
+En este ejemplo la heurística mostrada cumple con esta propiedad.
+}
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{consistencia-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+Aquí ilustramos un ejemplo donde la heurística no es monotónica.
+
+Si avanzamos en la dirección del objetivo por el camino $A$, $C$ y $B$.
+
+Observamos que para el nodo $A$ la función $h$ no es menor que la suma del costo a $C$, que es 1, con la heurística del nodo $C$ que es 2.
+
+Esto significa que el valor de $f(A) = g(A)+ 4$ es mayor que el valor $f(C) = g(A) + 1 + 2$. Esto al avanzar en la profundidad observamos que el valor $f$ no se incrementa, sino que disminuye.
+
+Esto no es bueno para $A^*$, pues una heurística no monotónica puede llevarnos a soluciones subóptimas.
+
+Admisibilidad de una heurística esta implicada si la heurística es consistente. 
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.10]{pizarron.jpg}
+\end{center}
+\note{
+Explicamos el algoritmo $A^*$ en el pizarrón.
+}
+\end{frame}
+
+
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{analisis-astar.pdf}
+\end{center}
+\note{
+Respecto de la complejidad computacional de $A^*$,
+
+el consumo de memoria es exponencial en la profundidad de la meta.
+
+El tiempo también.
+
+Al usar la cola de prioridad adolece de la complejidad adicional de la eliminación del mínimo en esta estructura de datos.
+
+La calidad de la solución depende de que la heurística satisfaga dos condiciones:
+
+la primera se denomina admisibilidad, la segunda monotonicidad. 
+
+Más adelante explicaremos que significan estas condiciones.
+
+El algoritmo es completo, asumiendo que el estado meta es alcanzable.
+}
+\end{frame}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file

curso-search/Astar.tex.bak

+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[spanish]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage[makeroom]{cancel}
+
+% descomentar para generar handouts con notas
+\setbeameroption{show notes on second screen=right}
+\usepackage{tikz}
+\tikzstyle{every picture}+=[remember picture]
+
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{pifont}
+\usetheme{Antibes} 
+\usecolortheme{lily} 
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{hyperref}
+\newcommand{\I}[1]{\mathit{#1}}
+\newcommand{\cierto}{\I{cierto}}
+\newcommand{\falso}{\I{falso}}
+
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
+\spanishdecimal{.}
+
+\title{Algoritmo de búsqueda $A^*$}
+\author{Stalin Muñoz Gutiérrez}
+\institute{
+Centro de Ciencias de la Complejidad\\
+  Universidad Nacional Aut\'onoma de Mexico (UNAM)}
+\date{}
+
+
+\begin{document}
+\parindent 2em
+
+\frame
+{
+\titlepage
+\note<1>{
+Vamos ahora a ver el algoritmo denominado A*.
+
+El algoritmo $A^*$ fue propuesto por Peter Hart, Nils Nilsson y Bertram Raphael en los años 60's.
+
+Aún sigue siendo uno de los algoritmos más utilizados para encontrar rutas en grafos pesados.
+}
+}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+
+\begin{block}{Basado en UCS}
+El algoritmo {\color{blue}$A^*$} es como un algoritmo UCS, con dos cambios:
+\begin{enumerate}
+\item un parametro adicional que es la función heurística, $h:S \to \mathbb{R}$.
+\item la cola de prioridad utiliza como criterio de ordenamiento la función $f:S \to \mathbb{R}$ definida como sigue:{\color{blue}
+\begin{equation}
+f(n) = g(n) + h(n)
+\end{equation} }
+$g(n)$ es el costo acumulado del estado inicial al estado $n$.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\note{
+
+$A^*$ es una modificación del algoritmo UCS.
+
+Tiene dos cambios importantes.
+
+Primero, recibe una función heurística $h$, que estima el costo de un estado al estado meta.
+
+Segundo, el criterio de ordenamiento para la agenda, ahora es la suma del costo acumulado desde el estado inicial, calculado con la función $g(n)$ y la estimación del costo al estado meta, obtenida con la heuristica $h$.
+
+Si $h(n)$ es igual a zero para todo estado $n$,
+recuperamos el algoritmo UCS.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: juego del 15}
+\only<1>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-01.pdf}
+}
+\note<1>{
+Vamos a ilustrar el funcionamiento del algoritmo
+con el juego del 15.
+
+Como función heurística usaremos el número 
+de fichas fuera de lugar.
+
+La meta es el arreglo ordenado de los números de
+menor a mayor.
+
+}
+\only<2>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-02.pdf}
+}
+\note<2>{
+$A^*$ esta basado en UCS, usaremos una cola de 
+prioridad como agenda.
+
+Metemos el estado inicial a la agenda.
+}
+\only<3>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-03.pdf}
+}
+\note<3>{
+Lo sacamos de la agenda.
+
+Agregamos a la lista de expandidos.
+
+También es posible que eliminemos el conjunto de expandidos. En ese caso el algoritmo trabajará más
+pero usará menos memoria.
+}
+\only<4>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-04.pdf}
+}
+\note<4>{
+Al expandir al estado $A$, Obtenemos 3 configuraciones $B$, $C$ y $D$.
+
+Aquí en amarillo mostramos las fichas fuera de lugar.
+
+Como superíndice indicamos la función $f$ para
+cada estado.
+
+En el caso de $B$ tenemos una $h(B) = 4$.
+
+En todos los estados el costo acumulado es 1.
+}
+\only<5>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-05.pdf}
+}
+\note<5>{
+Al frente de la cola de prioridad queda $B$ con un
+costo total de 5, los otros estados tienen costos mayores.
+
+Expandimos a $B$, obteniendo el estado $E$.
+}
+\only<6>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-06.pdf}
+}
+\note<6>{
+$E$ resulta ser el de menor costo.
+
+Lo expandimos generando dos sucesores: $F$ y $G$.
+}
+\only<7>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-07.pdf}
+}
+\note<7>{
+El siguiente estado en salir es $F$ con un costo acumulado de 3 y un costo estimado a la meta de 2.
+
+$F$ generará 3 sucesores. El costo acumulado en todos ellos es de 4.
+
+Hasta el momento el algoritmo no ha retrocedido.
+
+Sigue avanzando en dirección a la meta.
+}
+\only<8>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-08.pdf}
+}
+\note<8>{
+Ahora al frente se encuentra el estado $I$.
+
+Al expandirlo genera los estados $K$ y $L$.
+
+$K$ es la meta.
+
+Como en UCS, no hemos terminado, se agrega a la agenda.
+
+Terminaremos cuando se encuentre al frente de la cola de prioridad.
+
+Nos daremos cuenta al sacarlo.
+}
+\only<9>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-09.pdf}
+}
+\note<9>{
+Sacamos el estado de menor costo $f$.
+
+Ahora si, dado que la meta es el estado de menor costo, estamos listos para recuperar la ruta y finalizar la ejecución del algoritmo.
+}
+\only<10>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-10.pdf}
+}
+\note<10>{
+Regresamos con los apuntadores a los estados predecesores.
+
+La ruta esta dada por la secuencia A,B,E,F,I,K, para simplificar hemos omitido la anotar la acción necesaria para lograr cada estado.
+}
+\only<11>{
+\includegraphics[scale=0.45]{Astar-ejemplo-11.pdf}
+}
+\note<11>{
+Aquí la secuencia de movimientos que nos llevan a la meta.
+
+La heurística guió al algoritmo en dirección a la meta. Llegamos muy rápido a la solución.
+
+El éxito de la aplicación de $A^*$ depende mucho de la función heurística seleccionada.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Admisibilidad en $A^*$}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{admisible-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+La admisibilidad de una heurística consiste en que el valor de la función heurística para todo nodo de la red debe ser inferior o igual al valor mínimo de costo al obejtivo.
+
+En este ejemplo vemos como la función heurística  tanto de $C$ como de $D$ se mantinene cerca, pero no superan el costo real a la meta. La meta en el ejemplo es $B$.
+
+Si calculamos el valor de $f$ para $C$ y $D$ observamos que es de 4 y 3 respectivamente. 
+Por lo tanto el agente prefiere tomar la ruta por $D$.
+}
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{admisible-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+En este ejemplo tenemos una heurística no admisible.
+
+Pues está sobreestimando el costo para el nodo $D$, con ello conduciendo al agente por un camino más largo.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Consistencia en $A^*$}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{consistencia.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Una heurística es consistente o monotónica si para cada sucesor de todo vertice del grafo de estados acciones, la heurística del vértice es menor o igual que la heurística de
+}
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{admisible-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+En este ejemplo tenemos una heurística no admisible.
+
+Pues está sobreestimando el costo para el nodo $D$, con ello conduciendo al agente por un camino más largo.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.10]{pizarron.jpg}
+\end{center}
+\note{
+Explicamos el algoritmo $A^*$ en el pizarrón.
+}
+\end{frame}
+
+
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Algoritmo $A^*$}
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{analisis-astar.pdf}
+\end{center}
+\note{
+Respecto de la complejidad computacional de $A^*$,
+
+el consumo de memoria es exponencial en la profundidad de la meta.
+
+El tiempo también.
+
+Al usar la cola de prioridad adolece de la complejidad adicional de la eliminación del mínimo en esta estructura de datos.
+
+La calidad de la solución depende de que la heurística satisfaga dos condiciones:
+
+la primera se denomina admisibilidad, la segunda monotonicidad. 
+
+Más adelante explicaremos que significan estas condiciones.
+
+El algoritmo es completo, asumiendo que el estado meta es alcanzable.
+}
+\end{frame}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file

curso-search/Astar.toc

+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\select@language {spanish}

curso-search/búsqueda-informada.aux

+\relax 
+\relax 
+\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
+\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
+\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax 
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{}
+\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{}
+\catcode `"\active 
+\catcode `<\active 
+\catcode `>\active 
+\@nameuse{es@quoting}
+\@writefile{toc}{\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}}
+\@writefile{nav}{\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}}
+\select@language{spanish}
+\@writefile{toc}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{lof}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{lot}{\select@language{spanish}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{2}{2/7}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {2}{7}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{3}{8/8}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {8}{8}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{4}{9/12}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {9}{12}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{5}{13/14}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {13}{14}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{6}{15/15}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {15}{15}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@partpages {1}{16}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{16}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{16}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@documentpages {16}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\def \inserttotalframenumber {7}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\slideentry {0}{0}{7}{16/16}{}{0}}}
+\@writefile{nav}{\headcommand {\beamer@framepages {16}{16}}}

curso-search/búsqueda-informada.nav

+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{1}{1/1}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {1}{1}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{2}{2/7}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {2}{7}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{3}{8/8}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {8}{8}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{4}{9/12}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {9}{12}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{5}{13/14}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {13}{14}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{6}{15/15}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {15}{15}}
+\headcommand {\beamer@partpages {1}{16}}
+\headcommand {\beamer@subsectionpages {1}{16}}
+\headcommand {\beamer@sectionpages {1}{16}}
+\headcommand {\beamer@documentpages {16}}
+\headcommand {\def \inserttotalframenumber {7}}
+\headcommand {\slideentry {0}{0}{7}{16/16}{}{0}}
+\headcommand {\beamer@framepages {16}{16}}

curso-search/búsqueda-informada.out

+++ "b/curso-search/b\303\272squeda-informada.out"

curso-search/búsqueda-informada.snm

+++ "b/curso-search/b\303\272squeda-informada.snm"

curso-search/búsqueda-informada.tex

+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[spanish]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage[makeroom]{cancel}
+
+% descomentar para generar handouts con notas
+\setbeameroption{show notes on second screen=right}
+\usepackage{tikz}
+\tikzstyle{every picture}+=[remember picture]
+
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{pifont}
+\usetheme{Antibes} 
+\usecolortheme{lily} 
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{hyperref}
+\newcommand{\I}[1]{\mathit{#1}}
+\newcommand{\cierto}{\I{cierto}}
+\newcommand{\falso}{\I{falso}}
+
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
+\spanishdecimal{.}
+
+\title{Algoritmos de Búsqueda Informada}
+\author{Stalin Muñoz Gutiérrez}
+\institute{
+Centro de Ciencias de la Complejidad\\
+  Universidad Nacional Aut\'onoma de Mexico (UNAM)}
+\date{}
+
+
+\begin{document}
+\parindent 2em
+
+\frame
+{
+\titlepage
+\note<1>{
+Hoy presentaremos a los denominados algoritmos de búsqueda informada.
+
+A diferencia de los algoritmos de búsqueda ciega, los algoritmos de búsqueda informada utilizan conocimiento del dominio del problema para orientar la frontera de exploración en la dirección de la meta.
+
+}
+}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Búsqueda ciega contra búsqueda informada}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Usaremos un diagrama para ilustrar la diferencia entre los tipos de algoritmos.
+
+Comencemos con los algoritmos de búsqueda ciega.
+
+Estos algoritmos disponen únicamente de información de los estados que van descubriendo durante la exploración.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-2.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+Un algoritmo de la familia de DFS toma una dirección de búsqueda y avanza en la profundidad guiado por esa dirección.
+
+Es muy probable que esa dirección no sea la dirección en la que se encuentra la meta.
+
+De llegar a hacerlo, a esta familia de algoritmos les cuesta mucho tiempo descubrir la meta.
+}
+\only<3>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-3.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<3>{
+Algoritmos de la Familia BFS realizan exploraciones exhaustivas en todas direcciones.
+
+Estos algoritmos nos dan las soluciones óptimas, pero consumen mucha memoria.
+}
+
+\only<4>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-4.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<4>{
+El problema es que desde el punto de vista del agente, todos los nodos a la misma profundidad, o costo en el caso del algoritmo UCS, son igualmente atractivos.
+}
+\only<5>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-informada-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<5>{
+La idea principal de los algoritmos informados es dotarlos con información adicional que pueda guiarlos más rápido a encontrar la meta.
+
+En otras palabras, el objetivo es crear un sesgo en las decisiones del agente que lo orienten hacia la meta.
+
+Esto se logra a través de \emph{funciones heurísticas}.
+
+En este diagrama las curvas ilustran puntos que son igualmente atractivos para el algoritmo.
+
+Se construyeron sumando el costo acumulado desde el estado inicial (aquí costo es igual a distancia euclideana) con la distancia al nodo meta multiplicada por un escalar pequeño.
+
+Esta \emph{aproximación} del costo real a la meta sirve para crear un sesgo en la dirección correcta.
+}
+
+\only<6>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-informada-2-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<6>{
+Mejores aproximaciones crean sesgos mas grandes.
+
+Sesgos más grandes son mejores porque permiten a los algoritmos, en especial los tipo BFS, llegar más rápido a la meta, consumiendo con ello menos memoria. 
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Funciones heurísticas}
+\begin{block}{Heurísticas [Judea Pearl 1984]}
+Las heurísticas son criterios, métodos, o principios para decidir cuál entre multiples alternativas de lineas de acción promete ser la más efectiva para alcanzar una meta. Representan un balance entre dos requerimientos: la necesidad de hacer los criterios simples y, al mismo tiempo, el deseo de que discriminen correctamente entre elecciones buenas y malas.
+\end{block}
+
+\note{
+Para definir las funciones heurísticas citaremos a Judea Pearl. En su libro \emph{Intelligent Search Strategies for Computer Problem Solving}, Pearl las define como criterios discriminatorios para toma de decisiones respecto a líneas de acción en la consecución de una meta.
+
+Algo muy importante a considerar es que deben ser criterios simples. 
+
+En los humanos, eso que se conoce como \emph{el sentido común}, \emph{reglas de oro}, \emph{buenas practicas}, etc.
+}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: Rutas en mapas}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Consideremos como ejemplo un vehículo autónomo que desea encontrar la ruta óptima para llegar a la Ciudad de Colima desde la Ciudad de México.
+
+Sin mayor información tendría que explorar en todas direcciones, descubriendo las carreteras y sus costos en el camino.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+Una heurística podría ser implementada con el uso de una brújula.
+
+Si el agente ahora sabe que Colima está en el occidente del país y que la Ciudad de México en el centro. La brújula le proporcionaría información valiosa para ir en la dirección correcta.
+
+}
+
+\only<3>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-03.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<3>{
+Aún mejor herística podría definirse utilizando información de un dispositivo GPS.
+
+Este dispositivo le daría la latitud y longitud de cualquier lugar en el que se encuentre.
+
+Si sabemos las coordenadas de Colima, esto puede guiar la búsqueda.
+}
+
+\only<4>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-04.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<4>{
+Una heurística muy buena puede ser construida con la información de coordenadas GPS. 
+
+La distancia en línea recta puede servir para crear una preferencia de dirección.
+
+El agente trataría de minimizar la distancia a la meta.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: el juego del 15}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{heuristica-15-puzzle-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Pensemos ahora en el juego del 15.
+
+Si conocemos la configuración de la meta,
+
+podemos dar preferencia a una configuración sobre otra dependiendo de qué tan \emph{parecida} es la configuración a la configuración deseada.
+
+En este caso la configuración B se parece más que la A.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{heuristica-15-puzzle-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+En este caso una función heurística que es informativa para la discriminación de buenas y malas configuraciones esta dada por el número de fichas fuera de su lugar, respecto del objetivo.
+
+Vemos que la configuración A tiene 7 fichas fuera de su lugar,
+
+mientras que para la configuración B se tienen sólo 2 fichas fuera de lugar.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: mundo de bloques}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{heuristica-robot.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+En este ejemplo, conocido como el mundo de bloques, el robot tiene que mover los bloques
+hasta conseguir la configuración objetivo.
+
+Es posible definir una heurística que nos permita
+discriminar estados más cercanos a la meta que otros.
+
+En este caso A es más cercano que B.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{La función heurística}
+\begin{block}{Costo aproximado a la meta}
+La función heurística es una estimación del costo que tendrá llegar a la meta desde un nodo particular.
+
+La denotaremos con la letra $h$, $h:S \to \mathbb{R}$.
+
+Estrictamente esta función depende del estado meta, pero no hacemos 
+esta relación explícita.
+\end{block}
+\note{
+Para los algoritmos que presentaremos podemos pensar a la función heurística como una estimación del costo de un estado dado al estado meta.
+
+Como recomienda Pearl, la función debe poder calcularse de manera eficiente y debe ser informativa para la correcta discriminación de estados.
+}
+\end{frame}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file

curso-search/búsqueda-informada.tex.bak

+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
+\usepackage[spanish]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage[makeroom]{cancel}
+
+% descomentar para generar handouts con notas
+\setbeameroption{show notes on second screen=right}
+\usepackage{tikz}
+\tikzstyle{every picture}+=[remember picture]
+
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{pifont}
+\usetheme{Antibes} 
+\usecolortheme{lily} 
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{hyperref}
+\newcommand{\I}[1]{\mathit{#1}}
+\newcommand{\cierto}{\I{cierto}}
+\newcommand{\falso}{\I{falso}}
+
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
+\spanishdecimal{.}
+
+\title{Algoritmos de Búsqueda Informada}
+\author{Stalin Muñoz Gutiérrez}
+\institute{
+Centro de Ciencias de la Complejidad\\
+  Universidad Nacional Aut\'onoma de Mexico (UNAM)}
+\date{}
+
+
+\begin{document}
+\parindent 2em
+
+\frame
+{
+\titlepage
+\note<1>{
+Hoy presentaremos a los denominados algoritmos de búsqueda informada.
+
+A diferencia de los algoritmos de búsqueda ciega, los algoritmos de búsqueda informada utilizan conocimiento del dominio del problema para orientar la frontera de exploración en la dirección de la meta.
+
+}
+}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Búsqueda ciega contra búsqueda informada}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Usaremos un diagrama para ilustrar la diferencia entre los tipos de algoritmos.
+
+Comencemos con los algoritmos de búsqueda ciega.
+
+Estos algoritmos disponen únicamente de información de los estados que van descubriendo durante la exploración.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-2.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+Un algoritmo de la familia de DFS toma una dirección de búsqueda y avanza en la profundidad guiado por esa dirección.
+
+Es muy probable que esa dirección no sea la dirección en la que se encuentra la meta.
+
+De llegar a hacerlo, a esta familia de algoritmos les cuesta mucho tiempo descubrir la meta.
+}
+\only<3>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-3.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<3>{
+Algoritmos de la Familia BFS realizan exploraciones exhaustivas en todas direcciones.
+
+Estos algoritmos nos dan las soluciones óptimas, pero consumen mucha memoria.
+}
+
+\only<4>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-ciega-diagrama-4.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<4>{
+El problema es que desde el punto de vista del agente, todos los nodos a la misma profundidad, o costo en el caso del algoritmo UCS, son igualmente atractivos.
+}
+\only<5>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-informada-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<5>{
+La idea principal de los algoritmos informados es dotarlos con información adicional que pueda guiarlos más rápido a encontrar la meta.
+
+En otras palabras, el objetivo es crear un sesgo en las decisiones del agente que lo orienten hacia la meta.
+
+Esto se logra a través de \emph{funciones heurísticas}.
+
+En este diagrama las curvas ilustran puntos que son igualmente atractivos para el algoritmo.
+
+Se construyeron sumando el costo acumulado desde el estado inicial (aquí costo es igual a distancia euclideana) con la distancia al nodo meta multiplicada por un escalar pequeño.
+
+Esta \emph{aproximación} del costo real a la meta sirve para crear un sesgo en la dirección correcta.
+}
+
+\only<6>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{b-informada-2-diagrama.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<6>{
+Mejores aproximaciones crean sesgos mas grandes.
+
+Sesgos más grandes son mejores porque permiten a los algoritmos, en especial los tipo BFS, llegar más rápido a la meta, consumiendo con ello menos memoria. 
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Funciones heurísticas}
+\begin{block}{Heurísticas [Judea Pearl 1984]}
+Las heurísticas son criterios, métodos, o principios para decidir cuál entre multiples alternativas de lineas de acción promete ser la más efectiva para alcanzar una meta. Representan un balance entre dos requerimientos: la necesidad de hacer los criterios simples y, al mismo tiempo, el deseo de que discriminen correctamente entre elecciones buenas y malas.
+\end{block}
+
+\note{
+Para definir las funciones heurísticas citaremos a Judea Pearl. En su libro \emph{Intelligent Search Strategies for Computer Problem Solving}, Pearl las define como criterios discriminatorios para toma de decisiones respecto a líneas de acción en la consecución de una meta.
+
+Algo muy importante a considerar es que deben ser criterios simples. 
+
+En los humanos, eso que se conoce como \emph{el sentido común}, \emph{reglas de oro}, \emph{buenas practicas}, etc.
+}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: Rutas en mapas}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Consideremos como ejemplo un vehículo autónomo que desea encontrar la ruta óptima para llegar a la Ciudad de Colima desde la Ciudad de México.
+
+Sin mayor información tendría que explorar en todas direcciones, descubriendo las carreteras y sus costos en el camino.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+Una heurística podría ser implementada con el uso de una brújula.
+
+Si el agente ahora sabe que Colima está en el occidente del país y que la Ciudad de México en el centro. La brújula le proporcionaría información valiosa para ir en la dirección correcta.
+
+}
+
+\only<3>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-03.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<3>{
+Aún mejor herística podría definirse utilizando información de un dispositivo GPS.
+
+Este dispositivo le daría la latitud y longitud de cualquier lugar en el que se encuentre.
+
+Si sabemos las coordenadas de Colima, esto puede guiar la búsqueda.
+}
+
+\only<4>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.21]{cdmx-colima-04.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<4>{
+Una heurística muy buena puede ser construida con la información de coordenadas GPS. 
+
+La distancia en línea recta puede servir para crear una preferencia de dirección.
+
+El agente trataría de minimizar la distancia a la meta.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: el juego del 15}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{heuristica-15-puzzle-01.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+Pensemos ahora en el juego del 15.
+
+Si conocemos la configuración de la meta,
+
+podemos dar preferencia a una configuración sobre otra dependiendo de qué tan \emph{parecida} es la configuración a la configuración deseada.
+
+En este caso la configuración B se parece más que la A.
+}
+
+\only<2>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{heuristica-15-puzzle-02.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<2>{
+En este caso una función heurística que es informativa para la discriminación de buenas y malas configuraciones esta dada por el número de fichas fuera de su lugar, respecto del objetivo.
+
+Vemos que la configuración A tiene 7 fichas fuera de su lugar,
+
+mientras que para la configuración B se tienen sólo 2 fichas fuera de lugar.
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[<+->]
+\frametitle{Ejemplo: mundo de bloques}
+\only<1>{
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.4]{heuristica-robot.pdf}
+\end{center}
+}
+\note<1>{
+En este ejemplo, conocido como el mundo de bloques, el robot tiene que mover los bloques
+hasta conseguir la configuración objetivo.
+
+Es posible definir una heurística que nos permita
+discriminar estados más cercanos a la meta que otros.
+
+En este caso A es más cercano que B.
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{La función heurística}
+\begin{block}{Costo aproximado a la meta}
+Para los algoritmos que presentaremos podemos pensar a la función heurística como una estimación del costo que tendrá llegar a la meta desde un nodo particular.
+
+La denotaremos con la letra $h$, $h:S \to \mathbb{R}$.
+
+Estrictamente esta función depende del estado meta, pero no hacemos 
+esta relación explícita.
+\end{block}
+\note{
+Para los algoritmos que presentaremos
+}
+\end{frame}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file

curso-search/búsqueda-informada.toc

+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\beamer@endinputifotherversion {3.36pt}
+\select@language {spanish}

curso-search/python/astarplot.py

@@ -2,13 +2,17 @@ import matplotlib
 import numpy as np
 import matplotlib.cm as cm
 import matplotlib.pyplot as plt
+import math
 
-delta = 0.025
-x = np.arange(-1.0, 6.0, delta)
-y = np.arange(-2.0, 2.0, delta)
-X, Y = np.meshgrid(x, y)
-Z = np.sqrt(X**2+Y**2)+0.6*np.sqrt((X-5)**2+Y**2)
-CS = ax.contour(X, Y, Z)
-plt.show()
-plt.plot([0 5],[0,0])
+def doplot(k=0):
+	delta = 0.025
+	x = np.arange(-4, 4, delta)
+	y = np.arange(-2, 6, delta)
+	X, Y = np.meshgrid(x, y)
+	Z = np.sqrt(X**2+Y**2)+k*np.sqrt((X-5)**2+Y**2)
+	fig1, ax1 = plt.subplots()
+	ax1.axis('equal')
+	ax1.contour(X,Y,Z)
+	plt.plot([0,math.inf,5],[0,math.inf,0],color='r',marker = 'o')
+	plt.show()
 

preamble.tex

 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{color}
 \usepackage{amsmath}
+
+\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\ No newline at end of file